簡介

路徑積分蒙地卡羅（PIMC）方法是一種數值有限溫度方法，可以處理從少數粒子到數百粒子的系統。它已廣泛應用於許多不同的物理領域，如凝聚態系統、納米線、範德瓦爾斯簇、量子點、核物質、冷原子等。例如，散裝氦的超流性首次通過PIMC技術數值確認。許多其他玻色系統的熱力學量，如內能、熱容量、密度分佈和對應關聯函數也可以精確計算。雖然文獻中主要處理玻色統計，但也可以處理費米統計的系統。在低溫下，費米符號問題使模擬變得困難，但至少對某些費米子系統而言，可以在接近或進入量子簡併區域的溫度下處理而不會遇到符號問題。

以下我們給出一個單粒子在諧波陷阱中的PIMC計算簡單例子。

單粒子在諧波陷阱中的本徵態基底

圖1，來源於維基百科

對於由漢米爾頓算符 \(\mathcal{H}\) 描述的諧波陷阱中的單粒子，

\[\mathcal{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}m \omega^2 x^2,\]

其中 \(\hbar\)、\(m\) 和 \(\omega\) 分別是約化普朗克常數、粒子的質量和角陷阱頻率，我們可以計算本徵能量 \(E_j\) 和本徵函數 \(\psi_j\)。所有允許態的熱平均值，帶有玻耳茲曼權重 \(e^{-E_j/k_BT}\)，其中 \(k_B\) 是玻耳茲曼常數，\(T\) 是溫度，得出有限溫度性質。雖然單粒子諧波振子問題足夠簡單，可以用這種“蠻力”方法解決，但如果考慮兩個、三個……帶有相互作用的粒子，這種方法變得更加困難甚至不可能。左邊的圖，採自維基百科，展示了單粒子在諧波陷阱中的本徵值和本徵函數的平方。

密度矩陣和特羅特公式

圖2，高溫密度矩陣

現在我們介紹考慮有限溫度的路徑積分方法。密度矩陣 \(\rho(x,x',\beta)\)，

\[\rho(x,x',\beta)=\bra{x}\exp(-\beta \mathcal{H})\ket{x'},\]

其中 \(\beta=1/(k_BT)\) 是逆溫度（或“虛時間”），是計算幾乎所有我們感興趣的熱力學可觀測量的關鍵量。特羅特公式為

\[e^{-\beta (\mathcal{K}+\mathcal{V})}= e^{-\beta\mathcal{V/2}}e^{-\beta\mathcal{K}}e^{-\beta\mathcal{V/2}} +O(\beta^3),\]

其中 \(\mathcal{K}\) 和 \(\mathcal{V}\) 分別是動能和勢能算符。密度矩陣在高溫下可以近似得非常準確，但一般在低溫下不可以。左邊的圖顯示了相對高溫下的密度矩陣，即在 \(\beta=\frac{1}{32}\hbar\omega\) 時。

密度矩陣的卷積

利用密度矩陣的卷積性質，

\[\rho(x_0,x_2,\beta)=\int dx_1 \rho(x_0,x_1,\beta/2)\rho(x_1,x_2,\beta/2),\]

我們可以將低溫（小 \(\beta\)）下的密度矩陣表示為高溫（大 \(\beta\)）下的兩個密度矩陣的乘積。代價是一個額外的 \(x\) 積分。另一種理解方式是插入一套完備的位置基底：

\[\rho(x_0,x_2,\beta)=\int dx_1 \bra{x_0}\exp(-\beta \mathcal{H}/2)\ket{x_1}\bra{x_1}\exp(-\beta \mathcal{H}/2)\ket{x_2}。\]

要獲得準確的模擬結果，我們必須插入足夠多的中間位置基底，即我們必須進行足夠多的“輔助積分”，

\[\rho(x_0,x_M,\beta)=\int dx_1\dots\int dx_{M-1} \bra{x_0}\exp(-\beta \mathcal{H}/M)\ket{x_1}\dots\bra{x_{M-1}}\exp(-\beta \mathcal{H}/M)\ket{x_M}。\]

時間片數量 \(M\) 取決於所需的準確度。左邊的圖說明了虛時間的離散化。點和連接分別表示位置基底和密度矩陣。在最後的圖中，\(M\) 為32，即我們插入了31個中間點。多重積分可以使用蒙地卡羅技術進行評估。

簡單的路徑積分蒙地卡羅

要計算粒子的密度分佈，我們只需要密度矩陣的對角元素。這對應於 \(x_M=x_0\)，即路徑是閉合的，可以視為一個環。我們使用馬爾可夫鏈來抽樣路徑。為了更新路徑，我們計算由提議的新路徑和舊路徑表示的密度矩陣的比率 \(p\)。接受路徑的概率由 \(p\) 確定（如果 \(p<1\)，則為 \(p\)，如果 \(p\geq1\)，則為1）。一種簡單的構建新路徑的方法是移動單個“珠子”，如左圖所示。我們注意到，提議的新路徑被拒絕的概率是有限的，這意味著珠子保持在其位置。這種簡單更新方法存在長相關時間問題，在現代模擬中一般不使用。

多層次路徑積分蒙地卡羅

更聰明的方法是同時移動多個連續的“珠子”，即同時移動一段路徑。這種方法通常稱為多層次PIMC方法。左邊的圖說明了多層次PIMC方法。

密度分佈

最後，從模擬的路徑中，我們可以提取我們感興趣的可觀測量。我們選擇密度分佈函數來說明這個過程。密度就是我們在上圖中繪製的 \(x\) 位置的分佈。我們通過對路徑的每一步進行取樣，並生成一個直方圖來表示粒子的密度分佈。左側的圖展示了這樣一個直方圖。隨著模擬的進行，直方圖會逐漸收斂，顯示出系統的物理特性。

結論

路徑積分蒙地卡羅方法是一種強大的數值工具，它允許我們在有限溫度下研究包含多粒子的量子系統。通過將量子力學問題轉化為統計力學問題，我們可以利用蒙地卡羅技術來計算熱力學量和其他物理量。

儘管單粒子諧波振子問題可以解析解，但PIMC方法在處理多粒子系統和複雜相互作用時顯示出其真正的價值。通過適當地選擇時間片數量和更新策略，我們可以獲得高精度的模擬結果。

參考文獻

  1. Feynman, R. P., & Hibbs, A. R. (1965). Quantum Mechanics and Path Integrals. New York: McGraw-Hill.
  2. Ceperley, D. M. (1995). Path integrals in the theory of condensed helium. Reviews of Modern Physics, 67(2), 279.
  3. Krauth, W. (2006). Statistical Mechanics: Algorithms and Computations. Oxford University Press.